דף נוסחאות / סיכום: פיסיקה קוונטית ו- (54) חן אבינדב בהצלחה ד אביב תשס"ו תורת ההפרעות הבלתי תלויה בזמן H H כאשר W היא ללא ניוון: עוסקת בבעיות שבהן ההמילטניאן הוא מהצורה W H הוא ההמילטוניאן המקורי שאנו יודעים כבר את הפתרונות שלו ההפרעה הקטנה ו- WλH H מגדירים באופן מלאכותי פרמטר קטן λ כך ש- מניחים שההפרעה אינה משנה את מרחב המצבים כלומר שכל מצב של המערכת עדיין ניתן לפרישה בעזרת המצבים העצמיים המקוריים לכן נניח שמצב עצמי חדש של המערכת יהיה ( ) ψ N( λ) C ( λ) מהצורה: כאשר (λ )N הוא מקדם נירמול שנקבע בסוף החישוב מפתחים את האנרגיות העצמיות ואת המקדמים (λ C ( לטור בפרמטר הקטן λ: ψ וזה λ λ C ( λ) λc λc λ כאשר ל- (λ C ( אין איבר מסדר אפס משום שעלינו לדרוש שיתקיים C ( λ) λ גורר את הטורים הנ"ל מציבים למשוואת הערכים העצמיים בכל אגף יהיה זהה מכאן מקבלים את λ : H λ ודורשים שהמקדם של H ψ ψ המשוואות הבאות: : H C H C ( λ) : H λc λh λc λc λ C λ λ λ λ λ λ λ המשוואה מסדר מתקיימת באופן טריוויאלי על מנת לחלץ מידע מהמשוואות האחרות כופלים אותן משמאל ב- על מנת לקבל את תיקוני האנרגיה וכופלים ב- עבור C ספציפי על מנת לקבל את מקדמי פונקצית הגל משתמשים בכך שהפונקציות!) H באופן כזה מקבלים את δ (אך העצמיות הן א"ג לכן δ התיקונים מסדר ראשון ושני לרמות האנרגיה ואת התיקון מסדר ראשון לפונקציות הגל: ( W λh ψ λ λ W W חשוב: סימן התיקון מסדר שני לאנרגית מצב היסוד לעולם יהיה שלילי (או שהוא אפס) W תנאי תקפות הוא שהתיקון באמת קטן: לתיקון האנרגיה (לכל W לתיקון המצבים יש תלות בהפרש בין רמות האנרגיה לכן עלולה להתעורר בעיה כאשר הרמות מצטופפות ) )קיים חסר עליון לתיקון מסדר ) ( λ כאשר מוגדר: W / שני לאנרגיה שכן לפי משפט מתקיים: W W W עם ניוון: באופן כללי כאשר יש ניוון נתעניין בתיקון מסדר ראשון בלבד לרמות האנרגיה ובפיצול של המצבים העצמיים עבור רמת אנרגיה שאינה מנוונת התיקון מסדר ראשון יש ניוון (כלומר אך כאשר לרמה רושמים את המטריצה המייצגת של הוא כמו במקרה ללא ניוון והמצב העצמי נשאר N מצבים עצמיים שמתאימים לאותה אנרגיה) ישנם W בבסיס המצבים העצמיים של אותה רמה ומלכסנים אותה הערכים העצמיים הם התיקון λ כאשר α הוא הערך העצמי של W) והוקטורים מסדר ראשון לאנרגיה (כלומר α העצמיים הם המצבים העצמיים החדשים אם המטריצה W אלכסונית בתת-המרחב המנוון הרי שהבעיה פשוטה: התיקונים לאנרגיה הם האיברים על האלכסון והמצבים העצמיים החדשים הם פשוט המצבים העצמיים שכבר היו קודם (רק שאז הם היו שייכים לאותה רמת אנרגיה וכעת לפחות חלק מהניוון יוסר) מטריצת ההפרעה שצריך ללכסן היא הם המצבים המנוונים של רמת האנרגיה W כאשר W חלקיקים עם ספין / S הוא אופרטור תנע זוויתי למעשה אופרטור הספין :L ולכן הוא מקיים את כל יחסי החילוף שמקיים גם S S εs S S { של בבסיס המצבים העצמיים של } S S חלקיקים עם ספין / אופרטור הספין מוגדר באמצעות S כאשר: ( /) מטריצות פאולי σ הערה: אם ההפרעה W אלכסונית כולה (ולא רק בתת-מרחב מסויים) הרי שניתן לפתור את הבעיה במדוייק המצבים לא משתנים ורק רמות האנרגיה מקבלות תוספת σx σ y σ מטריצות פאולי מקיימות: d[ σ] [ σ] σ I σ σ σσ σσ ε σ { } σ σ σσ σσ δi σσ ( σ σ { σ σ} ) εσ δ I : S S ± ± x אופרטורי העלאה והורדה Sy S S S S לכל AB שמתחלפים עם σ ולכל וקטור יחידה ˆ : σ A σ B A B I σ Α B I v ( σ ˆ) σ ˆ odd ± θˆ σ/ Iosθ ± ( ˆ σ) sθ : S מצבים עצמיים של S ˆ ˆ os ( θ/) s ( θ/) s ( θ/) os ( θ/) כאשר θosθ) ˆ ( oss θss ( θ π/ π/ S S (למשל עבור ˆy ˆ ניקח נחבר אם חיבור שני ספינים / S S S כאשר שניהם SM אופרטורים של ספין חצי המצבים העצמיים של המערכת S S S S יהיו: { } ( ) ( ) ±± בבסיס } ±± { של כאשר המערכת } S { S S ניתן לרשום: S S S ניתן לראות שהאופטור S אינו אלכסוני בבסיס המצבים הזה ואכן הם אינם מצבים עצמיים שלו חיבור תנע זוויתי מסלולי עם ספין / L J הערכים האפשריים של הם ±/ ניתן להשתמש כאשר מחברים (/ )S בקשר J L S LS LS LS ולקבל את כל המקדמים באופן מיידי: M M M M M M M M M M
חיבור תנע זוויתי כללי J J באופן טריוויאלי ו- נניח מצב המערכת נפרש על ידי המצבים העצמיים של שני אופרטורים של תנע זוויתי ניתן להציג את מצב המערכת כמכפלה טנזורית של המצבים של כל אופרטור תנע זוויתי בנפרד כלומר { J J J } והם יהיו מצבים עצמיים של מערכת האופרטורים J : J J { אך לפעמים עדיף לעבוד דווקא עם מצבים עצמיים של המערכת {J J J J כאשר J J J J J J J J J J J J J J J J J J J / ( ) J נשים לב שהמצב הוא גם מצב עצמי של עם ע"ע { ולכן זה אומר שאנו צריכים להחליף את בסיס המצבים העצמיים מ-{ אך אינו מצב עצמי של ל- } JM { J M בקפיצות שלמות מתקיים: J ו- J ( כאשר ( J JM J( J ) JM J JM M JM J JM ( ) JM J JM ( ) JM JM J מקדמי קלבש-גורדן נותנים לנו את המעבר בין הבסיסים בשני הכיוונים: JM JM J JM JM J MJ JM JM נהוג לבחור את המקדמים להיות ממשיים כך ש- מתוך אורתנורמליות של מצבי הבסיס } JM { מקבלים את היחס הבא עבור המקדמים: J M JM δ δ JJ MM M ברגע שהוא ידוע מציאת המקדמים: באופן כללי לוקחים J ספציפי ומוצאים את המצב העליון שלו J J למשל פועל כך: ± J J על מנת להוריד את M עד ל- J כאשר האופרטור J פועלים עם J ± ( ) ( ± ) וכיצד מוצאים את המצב העליון לכל J? ידוע שעבור ה- J המקסימלי שהוא J המצב העצמי שלו x אחרי שסיימנו לעבוד עם J מסויים JJ J J מוצאים מתוך זה שהוא א"ג ל- JM הוא פשוט עוברים ל- (J ) את המצב העליון שלו ידוע) ומתוך זה ששניהם מורכים מאותם שני מצבים ו- (שכבר המילטוניאן בשדה א"מ בנוכחות שדה אלקטרומגנטי עם :A פוטנציאל סקלרי ו-וקטורי q H p A q V כאשר השדות הנגזרים הם: A B A f( חופש הכיול לכל פונק' ) הטרנספורמציה הבאה אינה משנה :B ו- את השדות f( ) A A f( ) J עד שמסיימים עם (J ) וממשיכים הלאה ל-( J ( באותו אופן מתוך דרישה א"ג וכו' ממשיכים עם J J J J J J J J J J J J J J J J יחסי חילוף: q f ( ) ψ ψ קבוע: עבור שדה ;חשמלי Wq מומנט דיפול מגנטי :S L וספין לאלקטרון עם תנ"ז M ( L S) WM B עבור חיבור שני ספין חצי S S 4 מכפלה טנזורית של אופרטורים רוצים לדעת איך אופרטור מסויים C פועל במרחב המצבים של S S בבסיס } { לצורך כך נפרק את האופרטור למכפלה B האופרטור הכללי נתון על ידי: A A ( B) A ( B) C A B A ( B) A( B ) A S S נניח נסמן אותו A והשני פועל רק במרחב של שני אופרטורים שהראשון פועל רק במרחב של B B B B A B A B A B A B A B B B B A B A B A B A B B B B B A B A B A B A B A B B B B A B A B AB AB ± S B כאשר B S S A ו- A S S האיברים הם למשל בבסיס נחשב S זו מטריצת יחידה הפועלת על הוא מצב עצמי של S כך למשל אם נרצה לחשב את המטריצה של S היא המטריצה S x בלבד ו- ) ( המוכרת הפועלת על I S כאשר I ( S ) x x { ±± } S x סיבובים וטרנספורמציה אקטיבית ופסיבית טרנספורמציה אקטיבית היא כזו שמשנה את מצב המערכת ביחס למערכת הצירים אך היא לא משנה את מערכת הצירים עצמה או את האופרטורים S אם U היא שמוגדרים במערכת כך למשל סיבוב אקטיבי ב- 9 סביב ציר y יהפוך את המצב ל- מבלי לשנות את הצירים או את האופרטור טרנספורמציה פסיבית היא כזו שמסובבת את כל מערכת הצירים ψ w U ψ od x ψ w U ψ od הטרנספורמציה המצבים החדשים של המערכת מתקבלים על ידי ובכלל זה גם את המצבים והאופרטורים שמוגדרים לנו והאופרטורים משתנים לפי שינוי המצבים נעשה בצורה זהה (כמובן שכעת מדובר ב- U אחרת) UU I ונקבל שערכי התצפית אינם משתנים ˆ A UA U כאשר U יוניטרית (כמו למשל במקרה של סיבוב) מתקיים θ סיבוב אקטיבי של מצב ספין כלשהו בזווית סביב הציר מתקבל על ידי הפעלת האופרטור ˆ / R ( ˆ) R( ˆ) θ θ θ σ p w od w w w ψ A ψ ψ A ψ od od od θs ˆ / θˆ σ/ θ )R הסיבוב הפסיבי המקביל מתקבל על ידי האופרטור ˆ)
חלקיק טעון בשדה מגנטי קבוע עבור שדה מגנטי קבוע (ללא שדה חשמלי) נוח לבחור ו- A ( B B שנותן את השדות ו- B ) / בחירה זו נותנת את ההמילטוניאן הבא: p q q H ( L B) ( B) 8 B ובמקרה הפרטי של ˆ B מקבלים: p qb qb H L ( x y) 8 ( ω / L ω/ ) היא תדירות לרמור ω L qb ( ) רמות לנדאו לחלקיק חופשי בשדה מגנטי קבוע: ( ω ) אפקט ז ימ ן הלא-אנומלי B מתוך הנוסחה ל-"חלקיק טעון מכניסים אטום מימן לשדה מגנטי חיצוני Bˆ בשדה מגנטי קבוע" בתוספת הספין לאחר הצבה q מקבלים המילטוניאן: p B B H ( L S) ( x y) 8 H W 9 עבור שדות לא חזקים מדי ) B Guss ) ההפרעה W זניחה לעומת W ולא 4 נתייחס אליה כמו כן מניחים שהשדה לא חלש מדי ) B Guss ( כך W ωl( L שמתעלמים מתיקוני המבנה הדק לאטום המימן התוספת S) חילופית עם ולכן קיים פיתרון מדוייק לבעיה כל רמת אנרגיה פשוט מקבלת ω( ) L s W H תוספת של: המבנה הדק של אטום המימן נוסיף שני תיקונים לרמות האנרגיה של אטום המימן הראשון כתוצאה 4 ) p ) והשני הוא תיקון יחסותי מסדר ראשון ( L S מאינטראקציית ספין-מסילה ) 4 L S p W W 4 באופן מפורש ההפרעות הן: LS p µ 8µ מכיוון שההפרעה על מנת לחשב את התיקון של L S עוברים לבסיס הזו חילופית עם J J ולכן היא תהיה אלכסונית בכל תת-מרחב של ואז למרות שמדובר בתורת ההפרעות המנוונת (ניוון באנרגיות) התיקון מסדר ראשון הוא ± מפרידים ל- W LS פשוט ערך התצפית של במצבי ומקבלים: 4µ ( ) על מנת לחשב את התיקון היחסותי נעזרים בכך שניתן לרשום: 4 p p H 8µ µ µ µ LS W 4 p α 4 W 4 ואז נקבל: p p 4 α o שני התיקונים בסך הכל נותנים: 4 ידוע מה המשמעות שמופיע בתשובה? נניח מכינים אלקטרון במצב s מבלי להתחשב במבנה הדק יש לאלקטרון זה אנרגיה ידועה היטב התלויה ב- בלבד אך אם נתייחס גם להפרעות הנ"ל הרי שהאלקטרון לא באמת נמצא במצב עצמי של ההמילטוניאן המופרע משום שאין לו מוגדר האלקטרון יהיה בסופרפוזיציה של מצבים עם ±/ כל אחד עם אנרגיה שונה לפי התוצאה שקיבלנו לעיל עבור אומנם מקבלים ש- <S < L מתאפס אך קיים תיקון אחר לאנרגיות (דארווין) ולכן פורמלית עדיין מציבים בנוסחה ומקבלים תוצאה נכונה אפקט ז ימ ן האנומלי B אך שוב מכניסים אטום מימן לשדה מגנטי חיצוני Bˆ 5 כעת מניחים שהשדה חלש יחסית ) B Guss ( כך שיש להתחשב גם בתיקון המבנה הדק לרמות האנרגיה בנוסף להפרעה כתוצאה מהשדה המגנטי שהוספנו שהיא: B WBM B ( L S) µ כמו בהפרעת L S במבנה הדק גם כאן יקל עלינו לבצע את מכיוון שההפרעה חילופית עם החישובים בבסיס L ו- J שהם האופרטורים הגורמים לניוון באנרגיות (לאחר התחשבות במבנה הדק) ולכן ההפרעה תהיה אלכסונית בכל תת-מרחב מנוון וחישוב התיקון הוא פשוט: B B L S ωl( S ) µ J S S על מנת לחשב את משתמשים במקדמי קלבש-גורדן בסך s בעזרת מצבי ומבטאים את fo B ω L ± ± הכל: הפרעה פתאומיות והפרעה איטית מדובר במקרה פרטי של תורת ההפרעות התלויה בזמן שבה ההמילטוניאן של המערכת משתנה מאוד לאט או מאוד מהר בשני מקרים אלו אין צורך להניח שההפרעה חלשה הפרעה איטית (אדיאבטית): במקרה שבו ההמילטוניאן שמתאר את המערכת משתנה לאט מאוד ניתן להניח ש"אין ערבוב" בין מצבי המערכת בזמן שהשינוי מתרחש למשל אם ניקח בור פוטנציאל אינסופי וחלקיק שנמצא ברמה ה- ית שלו ונשנה את רוחב הבור לאט מאוד החלקיק יישאר באותה רמה כמובן שפונקצית הגל שלו תשתנה בהתאם לרוחב הבור בכל רגע ורגע (וכנ"ל לגבי האנרגיה) אך עדיין הוא יישאר במצב עצמי לאורך כל השינוי הפרעה מהירה (פתאומית): כאשר ההמילטוניאן של המערכת משתנה מהר מאוד ניתן להניח שהמערכת אינה מספיקה להגיב לשינוי והיא נשארת עם אותה פונקציית גל שהייתה לה לפני ההפרעה למשל אם נכין חלקיק ברמה ה- ית של בור פוטנציאל אינסופי ונשנה באופן פתאומי ומיידי את רוחב הבור החלקיק יישאר עם אותה פונקצית גל שהייתה לו לפני ששינינו את הבור ההסתברות למצוא אותו ברמות האנרגיה של הבור החדש נתונה על ידי הטלה של פונקצית הגל של הבור הישן על פונקציות הגל של הבור החדש הפרעה מחזורית למערכת שתי רמות נניח מערכת שתי רמות עם > והמילטוניאן ומוסיפים הפרעה מחזורית H V Vosω נרשום את ההמילטוניאן הכולל של המערכת כך: : C ψ V V ω H ( ω ) V V / ψ C מהצורה נניח פיתרון עם ת"ה ω dc V V C ω ω ( ) ω d C V C V ω תחת הקירוב הסקולרי מקבלים את המערכת: ( )/ > כאשר ( ω) dc V C ( ω ω ) ω d C ω V C ההנחות הן ש- ω ωω ω ההפרעה חלשה V ω ומזניחים איברים ( ) ω ω ω ( ) ω ω לעומת האיברים האיטיים מהירים
תורת ההפרעות התלויה בזמן כללי V H H כאשר ל- נתעניין בהמילטוניאן מהצורה V λv ו- P f H H פתרונות ידועים היא הפרעה "קטנה" למצוא את המערכת במצב נרצה לדעת מה ההסתברות כלשהו בזמן כאשר ידוע לנו עלינו לפתור את משוואת f d ( H V ) ψ ψ d / ψ C f המצב ההתחלתי של המערכת שרדינגר התלויה בזמן: נציע פיתרון מהצורה: מהצבה שלו למשוואה והטלה על מקבלים: d f / Cf C f V d קיבלנו מד"ר לכל f ובסך הכל זוהי מערכת משוואות עם C δ מפתחים לטור ב- λ את תנאי התחלה המקדמים C ומציבים למערכת הזו בסדר אפס ב- λ ( ( לכל C ) קבועים כלומר C ) δ מקבלים ש- למקדמים בסדרים הגבוהים מתקבלת נוסחת רקורסיה: d ( ) ( ) f / Cf C f v d C δ לטור עם ( ) מקדמי סדר ראשון מקבלים מהצבת הפרעה מחזורית נניח הפרעה מהצורה V Vosω כאשר V אופרטור שאינו תלוי בזמן הצבה :( f P ל- הכללי שמצאנו נותנת (עבור ( ωf ω) ( ωfω) fv V ω f ω ω f Pf ( ) d 4 ω ω ω ω f f ( f ) P ( ω ואז ניתן להוכיח שעבור ω ובתנאים ω ± מסמנים ) ωf ω / PP מסויימים (המפורטים למטה) ניתן להזניח את בפתיחת הסוגריים ואז נקבל P בלבד (נניח שלא קיים מעבר שבו Pf נתעניין ב- Vf P P /4 המערכת יורדת באנרגיה) ואז הסתברות המעבר נתונה על ידי: V f s ωfω / ωfω Pf 4 α α ) מכאן מסתבר שהקירוב לעיל (הזנחת האיבר (תחת הזהות sα P יהיה P מחד (כך שהמרחק בין השיאים של /π ( מותר כאשר ω P תהיה קטנה) H f / V f מאידך (כך שההסתברות f PP גדול מהרוחב שלהם) ו- כלל הזהב של פרמי כלומר מעבר ממצבים קשורים של יינון מצבים כלל זה מדבר על חופשיים ברצף בגבול שבו למצבים מתקבל מ- P (להפרעה מחזורית) f ( ω ω) f πδ( ω ω) Pf Vf f /4 הגבול: למעבר ביחידת זמן ממצב התחלתי למצב סופי מגדירים את צפיפות ההסתברות : f π Rf f V ρ f δ f ω ω היא צפיפות המצבים במרחב כך ש- d ρ d הוא מספר f [ ] d של כאשר ) f ρ( המצבים בסביבת תוך זמן f לכן ההסתברות למעבר ממצב למצבים בסביבת R f ב- ( 4 f dp R dd f f ω וכופלים את d היא: f d של (ניתן להשתמש בכלל גם עבור הפרעה קבועה: מציבים חישוב צפיפות המצבים V ) הנחה זו כופה מחזוריות על מניחים שאנו בנפח קובי עם צלע L (ונפח כולל L φ כך שרכיבי התנע יכולים לקבלים ערכים ( ) x y הפתרונות לחלקיק חופשי / V π/ ( בלבד כל שלשה של ) L תורמת נקודה למרחב הפאזה v לכן מספר ( π/ L) וכולן ביחד מהוות מעין שריג שנפח כל תא שלו הוא המצבים בתוך אלמנט נפח d מתקבל מתוך חלוקה של נפח האלמנט בנפח שתופס כל ρ( ) / v ( L/π) ) d ρ( ולכן d אבל d d/ ( π/ L) מצב ניתן לקבל גם צפיפות מצבים ביחס לאנרגיה ( )ρ מתוך כך שהאנרגיה של המצב תלויה רק ב- לפי / ולכן לכל המצבים שנמצאים בקליפה כדורית דקה יש אותה אנרגיה בסך הכל מקבלים מתוך נוסחה לנפח של קליפה דקה ולאחר ( π ) / ρ L D / 4 6 / חלוקה בנפח מצב בודד: ביחס לאנרגיה ובכיוון צפיפות המצבים מסויים ( )ρ על ידי חלוקה ב- ( ˆ) ρ מתקבלת מתוך 4π משום שאין תלות של הצפיפות בכיוון כל התוצאות פרופורציוניות ל- L אך נירמול פונקצית הגל ב- מבטיח שהתוצאות בסופו של דבר אינן תלויות בגודל ρ ρ D( ) π π D xy ˆˆ ˆ ± ± ± s s ˆ / L זה תוצאות למימד אחד ושניים: f ω λ Cf Vf d : Vf f V ו- ω f ( f)/ כאשר לכן ההסתברות המבוקשת בסדר ראשון היא: f ω Pf δf Vf d f עבור Pf והתנאי לתקפות הפיתרון הוא (כאשר יש ניוון צריך אולי לסכם על כל המצבים באותה רמה) אינראקציה של אטום המימן עם קרינה המילטוניאן של אטום מימן בנוכחות קרינה אלקטרומגנטית: p H ( p A ) ( S B) A µ µ µ µ H W W ניקח למשל גל המתקדם בכיוון ציר ŷ עם השדות הבאים: ˆ os ( y ω) B xb ˆ os( yω) נוח לבחור את הכיול yω) A A ˆ s( ואז ωa/ B A ניתן להראות λ מתקיימים הקשרים / W / W כאשר ש- λ הוא אורך גל הקרינה W ואז: לכן בסדר אפס מזניחים את λ ומניחים A A W ps( yω) psω µ µ osω V / y זהו איבר λ כאשר גם כאן קירבנו לסדר אפס ב- הקירוב הדיפול החשמלי כאשר לוקחים סדר ראשון בפרמטר הקטן מקבלים את איבר הדיפול המגנטי והקוודרופול החשמלי: B B ( Lx Sx) os ω ( py p y ) osω µ µ VDM D VQ את ערכי התצפית של האופרטורים הנ"ל מחשבים בעזרת: p µ [ H ]/ f p µω f f f py p µω f y y f 4π כלל: dω Y Y Y רק אם מתקיימים: כללי ברירה לאטום המימן Bxy ˆˆ Bˆ ± ± s s ± ± ± דיפול חשמלי דיפול מגנטי קווודרופול חשמלי (כל התנאים (צריכים להתקיים התנאים חייבים להתקיים) על התנ"ז המסלולי או על הספין) s v
קירוב בורן תקף כאשר אנרגיית החלקיקים המתפזרים גדולה מאוד מהפוטנציאל המפזר בקירוב זה מקבלים: µ q f( θ ) d V ( ) π sp ( q s ) ועבור פוטנציאל מרכזי: µ f( θ ) V s( q) d q כאשר θ/) q s ( משום שההתנגשות אלסטית ולכן התנאי המתמטי לשימוש בקירוב בורן: µ dv R וכן שהאנרגיות גבוהות כלומר s תורת הפיזור F הוא שטף החלקיקים הפוגעים ביחידות של מספר החלקיקים ליחידת שטח ליחידת זמן ו-( θ d( הוא מספר החלקיקים ליחידת זמן המתפזרים בזווית ) θ ( עד כדי dω נגדיר חתך הפעולה הדיפרנציאלי ) θ σ( בתור θ) d Fσ( ניתן להראות שההתנהגות של פונקצית היחס כלומר dω f ( θ ) / ) ) הוא פשוט הגל המתפזרת עבור חייבת להיות מהצורה f ו- σ? זרם ההסתברות של הגל הנכנס כיצד נקשר בין J ניתן למצוא גם את זרם ההסתברות של הגל המתפזר ( θ) ( ) / f ( θ ) / ולראות שהוא / Js f (מתעלמים מהרכיבים המשיקיים של זרם ההסתברות משום שהם דועכים כמו ) כעת F CJ בעוד ש- d CJ ds CJ dω מתוך צירוף שתי s s σ( θ ) ( θ ) המשוואות מקבלים בדיוק ואם נניח של- V יש טווח סופי R נקבל שהאינטגרל על מתאפס ואז מתקבל התנאי V הוא הממוצע של V זו אנרגית החלקיק ו- כאשר V גלים חלקיים ניתן לפתח כל פונקצית גל שתלויה ב- ) θ ( בלבד לטור בפולינומי לג'נדר: חלקיקים זהים ( ) δ ψθ P( osθ) R כנגד שני סוגי חלקיקים דיברה תורת הקוונטים: בוזונים (ספין שלם) ופרמיונים (ספין חצי-שלם) פרמיונים זהים חייבים להיות במצב שהוא R הם פתרונות למשוואה אנטי-סימטרי לגבי החלפה של כל זוג מביניהם (כלומר פונקצית הגל הם פרמטרים התלויים בפונקציה ו- δ כאשר מקבלת מינוס תחת החלפת שני חלקיקים) בעוד שבוזונים זהים יהיו הרדיאלית בפרט הפיתוח של הגל המישור הוא: במצב שהוא סימטרי לגבי החלפה ביניהם (פונקצית הגל אינה משתנה) π המצב כולו חייב להיות סימטרי/אנטי סימטרי ולא רק החלק הספינורי ( ) P( osθ) R או המרחבי בפרט אם המצב הספינורי הוא סימטרי אזי המצב ואז מתוך השוואה של הביטויים הנ"ל עם פונקצית הגל המתפזרת המרחבי צריך להיות אנטי-סימטרי (עבור פרמיונים) ולהיפך עבור בוזונים גם החלק הספינורי וגם החלק המרחבי חייבים להיות f( θ ) / (בגבול שבו ( נקבל: סימטריים עבור מערכת של שני ספינים / מצבי הטריפלט f ( ) δ ( ( הם סימטריים ומצב הסינגלט ) ( הוא אנטי-סימטרי θ s( δ) P( osθ) עקרון פאולי שני פרמיונים זהים לא יכולים להיות באותו מצב δ הם פרמטרים התלויים בפוטנציאל המפזר מכאן ניתן לקבל את חתך קוונטי משום שהמצב האנטי-סימטרי היחיד שמקיים דרישה זו הוא כאשר מצב האפס שאינו פיסיקלי הפעולה הכולל בעזרת אורתוגונליות של osθ) : P( P שמחליף בין המצבים של החלקיקים ה- מוגדר אופרטור החילוף 4π P δ) σo ( s ) ( מצבים של חלקיקים זהים חייבים להיות מצבים עצמיים של (לכל זוג ) כאשר לבוזונים יהיה ערך עצמי ולפרמיונים δ הם למעשה הסחות הפאזה והם נקבעים מתוך ההתנהגות האסימפטוטית P P הוא הרמיטי ומקיים האופרטור של פונקצית הגל בפוטנציאל המפזר כלומר פותרים את המשוואה הרדיאלית עבור הפוטנציאל הנתון ואז מחפשים התנהגות אסימפטוטית ב- של במקרה של שני חלקיקים זהים ניתן ליצור מצבים סימטריים או אנטי- ( ± ± S אלה הם P) u (כזכור ) ( R ( u( ) כאשר הוא סימטריים בעזרת האופרטורים / עבור s ( π/ δ ) אופרטורי הטלה (על מרחב סימטרי או אנטי-סימטרי של מצבים) δ התנע הזוויתי של החלקיק מכאן מוצאים את כלומר ±S ±S כיצד נשתמש בהם? אם ידוע ששני החלקיקים עבור פוטנציאלים עם טווח פעולה סופי R באופן קלאסי רק חלקיקים עם תנע (אך לא ידוע מי נמצא זוויתי R מושפעים מהפיזור באופן קוונטי נאמר שרק גלים חלקיים עם הזהים נמצאים במצבים חד-חלקיקיים φ R מושפעים באופן משמעותי מהפיזור בעוד שעבור גלים עם >R באיזה מצב כמובן משום שהם זהים) המצב הסימטרי או אנטי- δ לכן ניקח בטור איברי רק עד R בפרט עבור R סימטרי המתאים יהיה (φ ±S ( עד כדי נירמול של המצב מתקיים כאשר נתון בסיס של מצבים למרחב מסויים ורוצים לדעת כיצד לוקחים רק פיזור של גלי S עם התנהגו חלקיקים זהים במרחב זה מפעילים את כל איברי הבסיס את (המשפט האופטי: ( I{ f( )} σo/4π ± S ומקבלים בסיס חדש למרחב הסימטרי או האופרטור המתאים :V( ) אנטי-סימטרי המתאים תזכורת המשוואה הרדיאלית שיש לפתור עבור פוטנציאל ( d ) עבור שני חלקיקים זהים המאכלסים מצבים חד-חלקיקיים שונים µ V u ˆˆ הפועלים כל אחד על חלקיק אחר: d µ ואופרטורים רציפה אלא אם כן יש פוטנציאל "מיוחד" ואז: u רציפה ו- u ˆ ˆ כאשר ψ ˆ SA ψsa µ ε u ( ) ε u ε V u d ε ψ ˆ ˆ ˆ ˆ SA ψsa פולינומי לג'נדר הראשונים: עבור N חלקיקים הדרמיננטה של סלייטר יוצרת מצב אנטי-סימטרי: P( osθ) P( osθ) ( os θ ) N ψ A P( osθ) os θ P( osθ) ( 5 os θ osθ) N N N וכמו כן ניתן להשתמש בנוסחאות הבאות: N! N! ψ S Pα ψ ψ P A εα α ψ N! α N! α כאשר α רץ על כל הפרמוטציות של Nאיברים היא הזוגיות ε α P α N N ψ ו- P α N נספחון מתמטי סכום סדרה חשבונית והנדסית ותוצאות שימושיות: [ ( ) d] [ ( ) d] q 4 ω ω π s s d q d q ω 4 של הפרמוטציה f
h 4 666 J s 4 54 J s 9 V 6 J 8 /s 9 6 C p קבועים ויחידות 9 g 5MV/ 67 g 98MV/ 7 67 g 996MV/ 7 h 4A V 97A V h λ 4 A α 7 λ 59 A πα 4 6 V יחסות האפקט הפוטואלקטרי עבור פוטון מתקיים: γ hν p γ אנרגיה של אלקטרון שהשתחרר מהמתכת: hνw אפקט קומפטון h λf λbfo ( osθ) כאשר היא מסת החלקיק שממנו פוזרה הקרינה θ זווית פיזור הקרינה ביחס לכיוון המקורי שלה p o s פיזור בראג התנאי להתאבכות בונה הוא: sθ λ כאשר λ הוא אורך הגל של החלקיקים ( λh/ הפוגעים (לפי דה-ברולי p הוא סדר ההתאבכות הוא המרחק בין מישורי האטומים ו- θ היא הזווית של החלקיקים הפוגעים עם המישור מודל בוהר לאטום המימן הנחת היסוד התנע הזוויתי מקוונטט: L d h כאשר עבור מסלול מעגלי מקבלים L v מפה לשם מגיעים לקשרים: ) Z הוא מספר הפרוטונים) Z Z ובמעבר בין רמות אנרגיה נפלט פוטון עם אורך גל: Z RZ H λ h טור פורייה אודות בסיסים פונקציית דלתא ומדרגה f( x) f( x (L עבור פונקציה מחזורית בסיס } { שמקיים δ מוגדרת תחת סימן האינטגרל: x f( x) δ( x x) dx f( x) מגדירים את פונקציות הבסיס x נקרא בסיס אורתונורמלי בבסיס זה מתקיים לכל וקטור v: ומקיימת את התכונות הבאות: בבסיס זה ניתן לרשום: π/ L כאשר v v L δ( x) δ( x) δ( x) δ( x) f( x) x בסיס זה יקרא גם שלם אם מתקיים: x f x dx ) ) )( לפי שיוויון בסל מתקיים: δ δ( xx) δ( g( x) ) L g f( x) dx ( x) L Idy כאשר } { x הם השורשים של x) g( ומתקיים g ( x ) אופרטורים הרמיטיים פונקציית דלתא מוגדרת גם כנגזרת של פונקציית המדרגה: T כל הערכים העצמיים של אופרטורים כאלה הם אופרטור ייקרא הרמיטי אם הוא מקיים T >x ממשיים ווקטורים עצמיים המתאימים לערכים עצמיים שונים הם אורתוגונליים δ( x) θ ( x) θ( x ) x > אופרטורים אוניטריים אופרטור ייקרא אוניטרי אם הוא מקיים T T והם מקיימים גם TuTv uv כלומר הם משמרים מכפלה פנימית מטריצה מייצגת טרנספורם פורייה זהו טור פורייה בגבול של אינטרוול אינסופי ועם אינדקס רציף: x f( x) F( ) d π כאשר הפונקציה ( )F מתפקדת בתור המקדמים: x F[ f( x) ]( ) F( ) f( x) dx π מבחינה פיסיקלית ( )F היא פונקציית המשקל בחבורת גלים x (x )f כאשר פונקציות הבסיס הם הגלים המישוריים תכונות חשובות של הטרנספורם: F[ f( x) ]( ) F [ f( x ) ]( ) F( ) F F[ αf( x) βg( x) ]( ) αf( ) βg( ) x F[ f( x) ]( ) f( x) F f( x)( ) F( ) ניתן גם להגדיר את פונקציית דלתא בעזרת הטרנספורם שלה: x ( x) δ( x x) dx π צמוד הרמיטי עבור האופרטור הלינארי T נגדיר את הצמוד ההרמיטי שלו להיות האופרטור T שמקיים לכל : T T תכונות: T T ( αt) α T ( T S) T S ( TS) ST כתיב דיראק T T dx T T T T T T T T הטלה אורתוגונלית כל אופרטור P המקיים P P נקרא הטלה P ההטלה נקראת ואם מתקיים גם P אורתוגונלית לכל וקטור יחידה u ניתן Pu והיא להגדיר את ההטלה עליו u u אורתוגונלית ומעבירה כל וקטור למרחב שנפרש על ידי u { } כל בסיס אורתונורמלי תכונת הסגירות: Idy מקיימת את מייצג שורה ו- עמודה כאשר פירוק ספקטרלי ( TT עבור אופרטור נורמלי TT ) T λ עם ערכים עצמיים } { ווקטורים עצמיים } { v ניתן לרשום: Tλ v v אורתונורמליים
פונקציית הגל P ( x ) ψ( x ) צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק במקום x היא dp ( x ) ψ( x ) dx משוואת שרדינגר ψ( x ) ψ( x ) Vψ( x ) Hˆ ψ( x ) x וכאשר הפוטנציאל V אינו תלוי בזמן: ψx u x Hu ˆ ( x) u( x) בעיות פיזור ומצבים קשורים מחלקים את איזור הקטסטרופה לאיזורים שבהם הפוטנציאל קבוע ובכל איזור מגדירים קבוע אופרטור המקום ואופרטור התנע במרחב המקום: במרחב התנע: pˆ p xˆ x xˆ pˆ p x מקיימים את יחס החילוף האקסיומטי [ px ] הפונקציות העצמיות שלהם במרחב המקום הן: px u p x w x δ( xx) π וניתן להסתכל על תנע קווי כיוצר הזזות במרחב: p d dx T Tf( x ) f( x ) ( V) / אם באופן קלאסי החלקיק יכול להיות באיזור הזה נקבל ממשי ולהיפך הפתרונות בכל איזור יהיו מהצורה: x x u u u A B אם ידוע לנו שבאיזור מסויים נמצא גל ש"מגיע" מכיוון אחד בלבד מתעלמים מאחד האיברים בפיתרון אם מדומה יש לשים לב לתנאי האינטגרביליות בריבוע ניתן גם לבחור A עבור הגל הפוגע המקורי R I את לפי חוק שימור זרם ההסתברות לעולם T הסתברות המעבר וההחזרה אנו מגדירים כך: R T P R PT PR PT I I כאשר הפוטנציאל לפני ואחרי המחסום זהה (ורק אז!) הסתברות המעבר וההחזרה שוות לערך המוחלט בריבוע של אמפליטודת הגל המתאים תמיד נדרוש שהפונקציה העצמית (x )u תהיה רציפה (אם הבעיה ( u( ) u( היא "מעגלית" נדרוש מחזוריות בזווית: (π וכאשר הפוטנציאל רגולרי (לא אינסופי) נדרוש שגם הנגזרת u תהיה רציפה ( x) ואולם כאשר מדובר בפוטנציאל אינסופי נדרוש קפיצה בנגזרת: x ε u ( x ) ε u x ε V x u x dx xε למשל עבור פוטנציאל (x )V (x αδ( נקבל שצריך להתקיים: α u ( ) u ( ) u משפט הפיתוח עבור אופרטור A עם ערכים עצמיים בדידים ניתן לרשום: u x Au x A u x u x dx (x { u ( הוא אורתונורמלי למקדמים יש משמעות של הסתברות - כאשר הבסיס } A היא ההסתברות למדוד לחלקיק ערך עצמי עבור מדידה של A A בפרט מתקיים סטטיסטיקה של משתנה רציף X משתנה מקרי שיכול לקבל ערכים רציפים על הישר הממשי כאשר ההסתברות שנקבל ערך בקטע ] b [ נתונה על ידי פונקציית צפיפות ההסתברות (x )f באופן X xf( x) dx P ( X [ b ]) f( x) dx f( x) dx b הבא: תנאי הנירמול הוא מערכת רב-מימדית כאשר ההמילטוניאן פריק כלומר ניתן לרשום: H H H H נתונים על ידי: x y אז המצבים העצמיים והאנרגיות של ψ X Y x y x y H X X H Y Y x y סטטיסטיקה של משתנה בדיד x x משתנה מקרי שיכול לקבל סט של ערכים וערך התוחלת הוא כל אחד בהסתברות X xp X הוא ( X x) p P X p p ונסמן p וערך התוחלת של תנאי הנירמול הוא ( X) v( X) ( X X) X X X היא: זרם הסתברות ψ ψ ψ ψ x x ומתקיימת משוואת הרציפות: P x ) x P( x ) ψ( אינטגרציה נותנת: כאשר ההסתברות למצוא אותו בקטע dx) ( xx היא פונקציית הגל היא רציפה וגזירה בריבוע כלומר: השונות של (פעם אחת ב- ופעמיים ב- ) x ואינטגרבילית כאשר x ± ובפרט ψ פיתוח לפי האנרגיה ψ( x ) dx < ψx Au x A u ( x) ψ( xdx ) אופרטורי סולם כאשר מתקיים בין שני אופרטורים היחס הבא A [ BA ] A מעלה את הערך העצמי של B בשיעור משוואות ארנפסט d x p d d p d x d d dv dx מעבר בין מרחב המקום ומרחב התנע px px ψ( x ) φ( p ) dp φ( p ) ψ( x ) dx π π ל- ) p )φ יש אותה משמעות עבור התנע כמו ) x )ψ עבור המקום T עקרון אי-הוודאות לכל שני אופרטורים AB מתקיים: A B ψ[ AB ] ψ למשל x p / על קומוטטורים [ AB ] ABBA [ ABC ] ABC [ ] [ AC ] B קירוב WKB xp dx V ( ( x) ) V> d d b d P( xdx ) b ψ( x ) dx d v נקבל p עבור חלקיק חופשי עם תנע v עבור פונקציית גל ממשית לעולם
: האקסיומות של פיסיקה קוונטית מ צב מערכת מיוצג ע"י וקטור מצב במרחב המצבים הפיסיקליים גודל פיסיקלי מדיד מיוצג ע"י אופרטור הרמיטי בעל בסיס שלם במרחב הנ"ל מדידת גודל מדיד יכולה להניב אך ורק אחד מן הערכים העצמיים שלו 4 לאחר מדידה כלשהי שהניבה ערך עצמי מסויים המערכת קורסת למצב העצמי שלו (כאשר יש ניוון בגודל שמדדנו המערת קורסת להטלה של המצב המקורי שלה על המרחב העצמי שמתאים לערך שמדדנו) P ψ ; P עבור ערכים 5 ההסתברות למדידת ערך עצמי (כאשר יש ניוון ב- ההסתברות היא עם מצב עצמי היא ψ עצמיים רציפים ההסתברות למדוד ערך עצמי בתחום dα) ( αα היא d ψ Hˆ ψ d p x δ ( dp α ψ dα 6 ההמילטוניאן אחראי להתפתחות המצב בזמן: 7 יחס החילוף האקסיומטי (יש כזו מילה בכלל?): אם בזמן התפתחות מצב בזמן המערכת היא במצב עצמי ψ ( ) עבור אופרטור A שאינו תלוי בזמן מתקיים: d A [ HA ] d ψ ψ ψ ψ ובפרט עבור A חילופי עם ההמילטוניאן נקבל שערך התצפית שלו הוא קבוע לכן ניתן לאפיין את המערכת על פיו מערכת שלמה של אופרטורים חילופיים (Cop S of Coug Opos) כאשר יש ניוון בע"ע של אופרטור A ניתן למצוא אופרטור נוסף B חילופי עם A שיסיר לפחות חלק מן הניוון אם זה לא מספיק ניתן למצוא עוד אופרטור C שחילופי עם AB וכו' α אוסילטור הרמוני פיתרון ישיר של משוואת שרדינגר לאחר הוצאת מימדים המשוואה הבלתי תלויה בזמן נראית כך: du ( ε y) u dy u( y) y / באינסוף הפתרון מתנהג כמו לכן נניח פיתרון מהצורה u( y) h( y ) y / ונציב ונקבל: h ( y) yh ( y) ( ε ) h( y) מניחים ש-( y )h הוא טור חזקות ב- y ולאחר שמציבים למשוואה מקבלים נוסחה רקורסיבית למקדמים ומתוך התנאי על כך שהטור יהיה y (y )h וזה רע לבריאות) מקבלים את רמות סופי (אחרת נקבל האנרגיה הדיסקרטיות פולינומי הרמיט ) ( u ניתן למצוא את הפונקציה העצמית של מצב מתוך המד"ר x היסוד ומכאן לקבל את שאר הפונקציות בעזרת אופרטור ההעלאה: X / X / u ( X) C u ( X) CH ( X) 4 ω C כאשר קבועי הנירמול הם:! π H נקראים פולינומי הרמיט והם מקיימים את התכונות: d d H ( ) d d H H d! d H H H H H d לפולינומי הרמיט אותה זוגיות כמו ל- πδ כך למשל: סוגי אופרטורים בעזרת התנע הזוויתי ניתן לסווג אופרטורים לשתי קטגוריות: [ L לכל אופרטור A ייקרא סקלרי אם הוא מקיים ] A בעיות שני גופים מגדירים קואורדינטות חדשות: R p p p P p p שמקיימות ביניהן את יחסי החילוף: [ XP X] [ xp x] Pp Px ולאחר שמציבים זאת לתוך ההמילטוניאן מקבלים: p p p P H V( ) V( ) µ M µ / M המסה המצומצת M מסת המערכת ו- CM Rv ההמילטוניאן שקיבלנו הוא פריק במובן של H H H ולכן ניתן לפתור את הבעיה בנפרד עבור תנועת מרכז המסה והתנועה היחסית של המסות אוסילטור הרמוני גישה אופרטורית p H ωx נגדיר גדלים חסרי מימד: X ω x P ω p H ( X P ) ω כאשר מתקיים ] PX ] נגדיר אופרטורים חדשים: ( X P) ( X P) ω H ω [ H ] ω H ω X ( ) P ( ) X ( ) מכיוון ש- H מורכב מסכום ריבועים של אופרטורים הרמיטיים הערכים העצמיים שלו חיוביים ולכן מכאן ומתוך העובדה ש- מוריד את האנרגיה ב- ω ומכך שעבור נקבל H ω כאשר ω אנו למדים שרמות האנרגיה הן עבור מצב יסוד מנורמל ניתן לקבל את המצבים הבאים לפי הנוסחה:! p ערכי התצפית של אופרטורים כאלה אינם משתנים כתוצאה L מסיבוב מערכת הצירים B ייקרא וקטורי אם הוא מקיים ( B B לעומת זאת אופרטור (B pl ערכי התצפית של לכל כך למשל: L B εb אופרטורים כאלה משתנים תחת סיבוב כמו וקטורים רגילים משפט פיינמן-הלמן עבור המילטוניאן שתלוי בפרמטר ומצב עצמי שלו מתקיים: בור בקטע בור אינסופי חד מימדי :[ L] π h L 8L πx u x s L L H H
חלקיק בפוטנציאל מרכזי משוואת שרדינגר התלויה בזמן נראית כך: ψ( ) ψ( ) V ψ( ) µ ולאחר הפרדה בין המרחב לזמן נקבל את המשוואה הבת"ל בזמן: V ( ) ( ) µ ומכיוון שגם הלפלאסיאן ניתן לפירוק אפשר להמשיך במלאכת הפישוט ולהפריד בין החלק הרדיאלי לחלק הזוותי: sθ s θ sθ θ θ L( θ ) R Y( θ ) : u R ונקבל את המשוואה הרדיאלית לאחר הצבה d ( ) V R R µ d µ du V u u µ d µ V ff מכיוון ש- < לפי הגדרה חייבים אנו לראות את עצמנו כאילו אנחנו יצאנו ממצרים אבל בלי קשר חייבים אנו להגדיר ) ( u תנאי הנירמול: ) < V ( וכמו כן מתקיים ff R d u d עבור פוטנציאליים שהם "פחות סינגולריים" מ- / כמו למשל 9 כאשר בערך כמו הפונקציה uמתנהגת / מכאן שככל שיש לחלקיק יותר תנע זוויתי כך ההסתברות למצוא אותו בקרבת הראשית פוחתת (משום שהפוטנציאל הצנטרפוגלי "זורק" את החלקיק החוצה) כמו כן אם נאמר לנו שלמצב עצמי מסויים יש סימטריה כדורית נובע מכך ש- גם עבור "מצב היסוד" מתקיים תנע זוויתי L כיוצר סיבובים במרחב שכן: L ניתן לראות ב- נגדיר p R Ld θ ( dθ ) R f f d θ ולבקשת הצופים הלפלסיאן בקואורדינטות גליליות הוא: dθ V ההמילטוניאן L R ומכאן גם שהוא חילופי עם d θ ולכן לא L L שכן εl אבל אם נגדיר L L L L x y HL L למשל dθ כעת כאשר הפוטנציאל הוא פונקציה של המרחק בלבד אינווריאנטי לסיבובים כלומר חילופי עם רכיבי התנע הזוויתי אינם חילופיים עם עצמם נוכל להשתמש בהם לצורך מערכת שלמה לכן נבחר בתור מערכת שלמה את הגדרת המספרים הקוונטים של התנע הזוויתי הקוונטי L ( ) L ( ( והוא גם מצב L L L נקבל ש- כלומר הוא מצב עצמי של L עם ערך עצמי עצמי של עם ערך עצמי מקבל ערכים טבעיים בלבד מקבל ערכי שלמים בתחום L המספר הקוונטי והמספר הקוונטי אופרטורי סולם של התנע הזוויתי L L L L L L L L L [ ] x y x y L ± [ L L ] ±L לכן ± ± הם מקיימים ב- והם לא משנים את הערך העצמי של מעלה/מוריד את הערך העצמי של ) בפרט מתקיים: L L ± L (שכן L C ± C ( ) ( ± ) ± ± ± L LL L ± L ± עבור מצב מנורמל מתקיים גם: הפונקציות העצמיות של התנע הזוויתי ייצוג דיפרנציאלי של אופרטורים בקואורדינטות כדוריות: x sθos y sθs osθ ± L L± ± oθ θ L sθ sθ s θ θ θ נחפש את הפונקציות העצמיות θ) Y ( שצריכות לקיים: LY ( θ ) ( ) Y ( θ ) LY ( θ ) Y ( θ ) L מתוך הצבת למשוואה האחרונה נקבל מד"ר שניתן לפתור ולקבל: Y ( θ ) ( θ) Θ π לאחר נירמול של החלק התלוי ב- מתוך דרישת החד-ערכיות נקבל ש- צריך ) θ Θ ( ניתן למצוא מתוך להיות שלם ומכאן גם המד"ר שמתקבלת לאחר הצבת חייב להיות מספר שלם את למשוואה ) θ LY ( s θosθ ודרגת הפולינום L הפונקציה ) θ Θ ( היא מעין "פולינום" בפונקציות מערכת מצבים ממימד סופי למשל אלקטרון שיכול לעבור בין שני אתרים: w H H W H W w כאשר הייצוג המטריציוני הוא בבסיס הערכים והמצבים העצמיים של ההמילטוניאן החדש הם: ± ± 4w osθ sθ w θ sθ osθ הסיכוי שהמערכת תעבור ממצב אחד לשני: P s θs > w כאשר ההפרעה חלשה ולכן כמעט אין סיכוי שהמערכת תעבור למצב : θ נקבל π/4 כאשר במערכת המקורית יש ניוון ± ( ± ) ± ± w ( ) (( ) ) P s / ויש זמנים שבהם המערכת נמצאת בוודאות במצב קובעת את המספר הקוונטי בעוד ש- נקבע מתוך האקספוננט ) ) למשל: Y ( θ ) sθ( 5 os θ ) 8 π Y Y ( ) Y C PY ( ) Y s θ ומתקיים: תנאי הנירמול הוא: π π ψ( ) dv f d Θ( θ) sθdθ Φ( ) d אופרטור השיקוף בקואורדינטות כדוריות: P P( θ) πθ P( ) π זוויות אוילר לפי ה- yovo שבה אנחנו משתמשים: R ( γ) R ( β) R( α) R( α) R( β) R( γ) y y כאשר y מייצגים את הצירים הזמניים שסביבם מתבצע כל סיבוב בעוד ש- xy הם הצירים המקוריים של המערכת
אטום המימן V כאשר Z המספר הפוטנציאל שאנו נדון בו הו Z / האטומי (מספר הפרוטונים בגרעין) עבור אטום המימן Z המשוואה הרדיאלית היא: d ( ) Z u u µ d µ ) /( כאשר µ Z Z היא המסה המצומצמת p p פונקציית הגל שמתארת את האלקטרון תהיה: ψ u Y ( θ ) כאשר את θ) Y ( כבר מצאנו בפרקים הקודמים נמשיך בפיתוח עבור Z ונוציא המימדים: 4 µ ρ ρ λ λ µ d ( ) λ u( ρ) u( ρ) dρ dρ ρ ρ (ρ )u לכן נציע פיתרון באינסוף הפיתרון מתנהג כמו λρ מהצורה ρ) u( ρ) y( ולאחר שנציב לתוך המשוואה נקבל: λρ ( ) y λy y y ρ ρ נניח כי (ρ )y הוא טור חזקות ב- ρ שהחזקה הראשונה שלו היא ρ משום שזו ההתנהגות של (ρ )u בקרבת הראשית מציבים את הטור למשוואה וכו' וכו' ומקבלים תנאי לכך שהטור יהיה סופי: λ נקבל כי עבור טבעי כלשהו ואם נסמן ρ מכיוון שהחזקה הראשונה בטור חייבת להיות ומכאן: 4 µ Z Z כמו שאנחנו יודעים כבר מכיתה ג ' נשים לב שיש ניוון ברמות האנרגיה והן תלויות רק ב- ולא ב- (באופן כללי זה לא המצב עבור פוטנציאל מרכזי) בסך הכל יש ניוון של מצבים לכל רמה מתוך המשוואה הרדיאלית לעיל מקבלים את הפונקציות הרדיאליות R שמקיימות ביניהן את יחס האורתונורמליות: R R d δ R R יחס זה מתקיים רק(!) כאשר לשתי הפונקציות אותו ערך עבור שני ערכים שונים של מקבלים שתי משוואות שונות שהפתרונות שלהן לא אורתוגונליים באופן כללי מתקיים יחס האורתונורמליות: תנע רדיאלי משיקולי סימטריה הוא מוגדר באופן הבא: d p " ˆ p" p p d הפונקציות העצמיות של התנע הרדיאלי הן / כאשר p עבור פונקציות אלה מתקיים: ˆ 4π δ ( ) או נבלע בראשית עבור > למצבים אלה יש זרם שכאילו נוצר בראשית עבור הסינגולריות הזו בזרם ההסתברות נובעת מהגדרת הקואורדינטות < הכדוריות שגם היא סינגולרית בראשית מטריצות ערכים עצמיים ומצבים עצמיים בתת-המרחב כל הוקטורים והמטריצות להלן הן בבסיס { } בסדר הזה L x Ly L L x L y L והמצבים העצמיים של L L בתת-המרחב הנ"ל באותו בסיס ולאחר נירמול: x y x x x L L L L y Ly xy : Y ( θ) L/ L/ לכל L y עבור מתקיים גם היחס ψ ψ δ δ δ ערכי תצפית עבור מצבים עצמיים של אטומים דמויי-מימן: ( ) 5 Z Z Z Z ( ) R y מטריצת הסיבוב סביב Y עבור הפונקציות הרדיאליות פונקציות לדוגמה R והזוויתיות Z R Z Z Z Z Z Z Z R R Y( θ ) Y( θ ) sθ 4π 8π Y( θ ) os θ Y ( θ ) sθ 4π 8π פונקציות עצמיות של האוסילטור ההרמוני כאשר : X x ω/ / X / ω 4 4 X ω u( X) u( X) X π π ω 4 X / u( X) ( 4X ) 8 π ω 4 X / u( X) ( 8X X) 48 π הצגת וקטור המקום בעזרת הפונקציות הרדיאליות ( sθos sθs osθ) 4π Y Y Y Y Y שימושי למציאת פרישה של פונקציית מצב עם לפי הפונקציות העצמיות משפט הויריאלי osβ sβ osβ ( β) sβ osβ sβ osβ sβ osβ עבור תנועה בתוך פוטנציאל מרכזי מתקיים תמיד: V V T V V